【题目】数列的各项均为正数,且的前项和是.
(1)若是递增数列,求的取值范围;
(2)若,且对任意,都有,证明: .
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析: 由题意先证明,然后利用数学归纳法结合条件证明结果由已知先证明数列是递减数列,由,求出范围,分别证明、时的情况是否成立
解析:(1) 由a2>a1a1+-1>a1,
得0<a1<2;①
又由a3>a2a2+-1>a20<a2<20<a1+-1<2,
得1<a1<2,②
由①②,得1<a1<2.
下面用数学归纳法证明:
当1<a1<2时,1<an<2对任意n∈N*恒成立.
(ⅰ)当n=1时,1<a1<2成立;
(ⅱ)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,1<ak<2成立,
则当n=k+1时,ak+1=ak+-1∈[2-1,2)(1,2).
综上,可知1<an<2对任意n∈N*恒成立.
于是an+1-an=-1>0,即{an}是递增数列.
所以a1的取值范围是1<a1<2.
(2)证明 因为a1>2,可用数学归纳法证明:an>2对任意n∈N*恒成立.
于是an+1-an=-1<0,即{an}是递减数列.
在Sn≥na1- (n-1)中,令n=2,
得2a1+-1=S2≥2a1-,解得a1≤3,
故2<a1≤3.
下证:①当时,
Sn≥na1- (n-1)恒成立.
事实上,当时,
由于于是
再证:②当时不合题意.
事实上,当时,设an=bn+2,
则由可得
得得,
于是数列{bn}的前n项和,
故Sn=2n+Tn<2n+3=na1+(2-a1)n+3.(*)
令则由(*)式得,
只要n充分大,就有Sn<na1- (n-1),这与Sn≥na1- (n-1)矛盾.
所以<a1≤3不合题意.
综上,有2<a1≤.
于是 ,因为 故
故数列{bn}的前n项和,
所以Sn=2n+Tn<2n+1.
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【题目】已知数列的前项和,数列是正项等比数列,且,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,是否存在正整数,使得对一切,都有成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=ln(x+1)-mx(mR)。(1)若m>0,讨论f(x)的单调性;(2)令g(x)=f(x-1)+(2m+1)x+n,若g(x)有两个零点,,求证: <
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【题目】已知函数(其中),(其中为自然对数的底数).
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求的单调区间和极值;
(2)若对任意,总存在使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某部门从年龄在岁到岁的人群中随机调查了人,并得到如图所示的频率分布直方图,在这人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如图所示:
年龄 | 不支持“延迟退休年龄政策”的人数 |
(1)由频率分布直方图,估计这人年龄的平均数;
(2)根据以上统计数据填写下面的列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为以岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异?
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
附:
参考数据:
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【题目】已知椭圆C: 的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点.
① 求证:直线MN的斜率为定值;
② 求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点).
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