Question

【题目】已知点与点的距离比它的直线的距离小2．

（1）求点的轨迹方程；

（2）是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积为0进行求解.

试题解析：（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，即动点到的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，则点的轨迹方程为；

（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，

设直线的方程为，联立方程

，消去，可得，

即，

， ，

由题意知，即，则，

∴， ∵，∴，

∴直线的方程为，

∴直线过定点，且定点坐标为；

法二：假设存在定点，设定点，

∵， ∴， ∴，

又∵在抛物线上，即代入上式，可得， ∴，

又∵三点共线， ∴，∴，

∴假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．