Question

已知函数f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1处取得极值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意x₁∈R的，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，根据f（x）在x=1处取得极值2列出关于m，n的方程，求出m，n即可求得f（x）的解析式；
（2）由（1）得f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

，对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在满足条件的点A，再利用曲线在点B处的切线与OA平行，求出点A的坐标，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（3）令f'（x）=0，得x=-1或x=1，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列成表格：下面对a进行了分类讨论：当a≤-1时，当a≥1时，当-1＜a＜1时，根据题中条件即可得出a的取值范围．

解答：解：（1）

∵f(x)= mx x2+n ， ∴f′(x)= m(x2+n)-mx•2x (x2+n)2 = mn-mx2 (x2+n)2

（2分）
又f（x）在x=1处取得极值2

∴ f′(1)=0 f(1)=2 即 m(n-1) (1+n)2 =0 m 1+n =2 解得 m=4 n=1 或 m=0 n=-1 (舍去) ∴f(x)= 4x x2+1

（4分）
（2）由（1）得f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

假设存在满足条件的点A，且A(x0，

4x0

x 2 0 +1

)，则kOA=

4

x 2 0 +1

（5分）

f′( x0 2 )= 4-4( x0 2 )2 [( x0 2 )2+1]2 = 16(4- x 2 0 ) ( x 2 0 +4)2

，
∴5

x

4 0

=4

x

2 0

，∴

x

2 0

=

4

5

，

x

0

=±

2

5

5

（7分）
所以存在满足条件的点A，此时点A是坐标为(

2 5

5

，

8 5

9

)或(-

2 5

5

，-

8 5

9

)（8分）
（3）f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，在x=1处取得极大值f（1）=2
又∵x＞0时，f（x）＞0，∴f（x）的最小值为-2（10分）∵对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此时a不存在．（12分）
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．

点评：本小题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数在某点取得极值的条件等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．