Question

大学生自主创业已成为当代潮流。长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款20000元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款。已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出。
（1）设夏某第个月月底余元，第个月月底余元，写出的值并建立与的递推关系式；
（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入。（参考数据：1.12¹¹≈3.48，1.12¹²≈3.90，0.12¹¹≈7.43×10^﹣11，0.12¹²≈8.92×10^﹣12）

Answer 1

（1）a_n+1=1.12a_n﹣1500（n∈N₊，1≤n≤11）（2）20532元

试题分析：（1）根据夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，可求a₁的值并建立a_n+1与a_n的递推关系；
（2）构造{a_n-12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列，即可求得结论．
试题解析：（1）由题意a₁=20000（1+15%）﹣20000×15%×20%﹣1500=20900（元）
a_n+1=a_n（1+15%）﹣a_n×15%×20%﹣1500=1.12a_n﹣1500（n∈N₊，1≤n≤11）
（2）令a_n+1+λ=1.12（a_n+λ），则a_n+1=1.12a_n+0.12λ，∵a_n+1=1.12a_n﹣1500，∴λ=﹣12500
∴a_n+1﹣12500=1.12（a_n﹣12500），∴{a_n﹣12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列
∴a_n﹣12500=（20900﹣12500）×1.12^n﹣1，即a_n=8400×1.12^n﹣1+12500
∴a₁₂=8400×1.12¹¹+12500≈41732（元） 又年底偿还银行本利总计20000（1+6%）=21200（元）
故该生还清银行贷款后纯收入41732﹣21200=20532（元）