Question

（2012•绍兴一模）已知f（x）是偶函数，当x＞0时，其导函数f'（x）＜0，则满足f(

x

4

)=f(

x-1

x-3

)的所有x之和为（　　）

A．-6

B．6

C．-7

D．7

Answer 1

分析：f（x）为偶函数推出f（-x）=f（x），x＞0时f（x）是单调增函数，推出f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根与系数的关系进行求解．

解答：解：∵f（x）为偶函数，f（2x）=f（-2x）且当x＞0时f（x）是单调增函数，
又满足f（

x

4

）=f（

x-1

x-3

），
∴

x

4

=

x-1

x-3

或

x

4

=-

x-1

x-3

，
可得，x²-7x+4=0或x²+x-4=0，
∴x₁+x₂=7或x₃+x₄=-1，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=7-1=6，
故选B．

点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（-x）=f（x）②增函数x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）；减函数x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）．