Question

点P为圆O；x²+y²=4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）直线l经过定点（0，2）与曲线C交于A、B两点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），M（x，y），由

x=x0 y= 1 2 y0

，能求出曲线C的方程．
Ⅱ）依题意l斜率存在，其方程为y=kx+2，由

x2+4y2=4 y=kx+2

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，由此入手能够求出△OAB面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），M（x，y），
∵点P为圆O；x²+y²=4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M，
∴

x=x0 y= 1 2 y0

，∴

x0=x y0=2y

，…2分
代入x²+y²=4，得曲线C的方程：

x2

4

+y2=1．…4分
（Ⅱ）依题意l斜率存在，
其方程为y=kx+2，
由

x2+4y2=4 y=kx+2

，消去y整理得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-4（4k²+1）×12=4（4k²-3），
由△＞0，得4k²-3＞0，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

．②…6分
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( -16k 4k2+1 )2-4• 12 4k2+1 ]

，③
原点到直线l距离为d=

|2|

1+k2

，④…8分
由面积公式及③④得
S_OAB=

1

2

×|AB|d
=4

4k2-3 (1+4k2)2

=4

4k2-3 (1+4k2)2

=4

4k2-3 (4k2-3)+8(4k2-3)+16

=4

1 4k2-3+8+ 16 4k2-3

≤4

1 16

=1，…10分
当且仅当 4k2-3=

16

4k2-3

，即4k²-3=4时，等号成立．
此时S_△OAB最大值为1．…12分．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．