Question

15．设f（x）=mx²+3（m-4）x-9．
（1）试判断函数f（x）零点的个数；
（2）若满足f（1-x）=f（1+x），求m的值；
（3）若m=1时，x∈[0，2]上存在x使f（x）-a＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对二次项系数讨论，分类判断；
（2）由题意可知f（x）的图象关于直线x=1对称，二次函数的对称轴-$\frac{3（m-4）}{2m}$=1，求出m的值；
（3）原命题等价于f（x）-a＞0有解，即f（x）＞a有解，故只需a小于f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）①当m=0时，f（x）=-12x-9为一次函数，有唯一零点
②当m≠0时，由△=9（m-4）²+36m=9（m-2）²+108＞0故f（x）必有两个零点
（2）由条件可得f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴-$\frac{3（m-4）}{2m}$=1，且m≠0，
解得：m=$\frac{12}{5}$；
（3）依题原命题等价于f（x）-a＞0有解，即f（x）＞a有解
∴a＜f（x）_max
∵f（x）在[0，2]上递减，
∴f（x）_max=f（0）=-9，
故a的取值范围为a＜-9．

点评 考查了二次项系数为字母时的分类讨论和区间内有解问题，需要对题意理解到位．