Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）设函数g（x）= ，求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=t有两个不相等的实数根x1 ， x2 ， 求证：x1+x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵g（x）= （x＞0，且x≠1），则g′（x）= （x＞0，且x≠1）， 设h（x）=x﹣lnx﹣1（x＞0，且x≠1），则h′（x）=1﹣ （x＞0，且x≠1），
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
∴h（x）＞h（1）=0，
∴当x＞0，且x≠1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴g（x）的单调递增区间（0，1），（1，+∞），无单调递增区间；
（Ⅱ）证明：f′（x）=1+lnx，当0＜x＜ ，f′（x）＞0，则f（x）在（0， ）单调递减，
当x＞ 时，f′（x）＞0，函数f（x）在（ ，+∞）上单调递增，
当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1，f（x）＞0，
设0＜x1＜ x2＜1，构造函数F（x）=f（x）﹣f（x﹣ ），
则F′（x）=f′（x）﹣f′（ ﹣x）=2+lnx（ ﹣x），
当0＜x＜ ，x（ ﹣x）＜ ，则F′（x）＜0，F（x）在（0， ）单调递减，
由F（ ）=0，故F（x）＞0，（0＜e＜ ），
由0＜x1＜ ，得F（x1）=f（x1）﹣f（ ﹣x1）＞0，
则f（x1）=f（x2）＞f（ ﹣x1），
又x2＞ ， ﹣x1＞ ，
∴f（x）在（ ，+∞）上单调递增，故x2＞ ﹣x1 ，
∴x1+x2
【解析】（Ⅰ）求导，根据函数的单调性导数的关系，构造辅助函数，求导h′（x）=1﹣ （x＞0，且x≠1），则h（x）＞h（1）=0，则f′（x）＞0，即可求得g（x）的单调区间；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f（x﹣ ），求导F′（x）=2+lnx（ ﹣x），根据函数单调性可知F（x）＞0，（0＜e＜ ），当0＜x1＜ ，得F（x1）=f（x1）﹣f（ ﹣x1）＞0，f（x）在（ ，+∞）上单调递增，故x2＞ ﹣x1 ， 即可求证不等式成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．