Question

10．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）若M（0，6），求椭圆C₁上的点与点 M距离的平方的最大值；
（2）已知过原点 O的直线l与抛物线C₂：${y^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$交于 O，A两不同点，与椭圆交于 B，C两不同点，其中 B，C两点的纵坐标分别满足y _B＜0，y_C＞0，若$\overrightarrow{{B}{O}}=\overrightarrow{C{A}}$，试求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆C₁过点（2，0）可知a=2，利用$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$可知c=1，从而b²=a²-c²=3，整理可得椭圆C₁方程；通过设N（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，利用两点间距离公式配方整理、结合y₀∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]即得结论；
（2）通过分析，设直线l方程为y=kx（k≠0），分k＜0、k＜0两种情况讨论即可．

解答 解：（1）依题意，a=2，
又∵$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆C₁方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
设N（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，则${{x}_{0}}^{2}$=4-$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{3}$，
则|MN|²=${{x}_{0}}^{2}$+$（{y}_{0}-6）^{2}$=4-$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{3}$+${{y}_{0}}^{2}$-12y₀+36=-$\frac{1}{3}$$（{y}_{0}+18）^{2}$+148，其中y₀∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
∴当y₀=-$\sqrt{3}$时，|MN|²有最大值39+12$\sqrt{3}$；
（2）当直线的斜率为0或者不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不合题意，舍去，
故可设直线l方程为：y=kx（k≠0），
①当k＜0时，∵y_B＜0，y_C＞0，
∴$\overrightarrow{BO}$与$\overrightarrow{CA}$方向相反，不合题意，舍去；
②当k＞0时，
联立直线与椭圆方程，消去y整理可知：3x²+4k²x²-12=0，
解得：x_B=-2$\sqrt{\frac{3}{3+4{k}^{2}}}$，x_C=$\sqrt{\frac{3}{3+4{k}^{2}}}$，
联立直线与抛物线方程，消去y可知：k²x²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：x_O=0，x_A=$\frac{\sqrt{3}}{2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{{B}{O}}=\overrightarrow{C{A}}$，
∴由椭圆对称性可知$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{CA}$，
∴B、O、C、A四点共线，且C为线段OA的中点，
∴x_C=$\frac{{x}_{O}+{x}_{A}}{2}$，即4$\sqrt{\frac{3}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2{k}^{2}}$，
化简得：64k⁴-4k²-3=0，
解得：k²=$\frac{1}{4}$或k²=-$\frac{3}{16}$（舍），
又∵k＞0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线l方程为：y=$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．