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10.已知椭圆C1:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)过点(2,0),且离心率为$\frac{1}{2}$.
(1)若M(0,6),求椭圆C1上的点与点 M距离的平方的最大值;
(2)已知过原点 O的直线l与抛物线C2:${y^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$交于 O,A两不同点,与椭圆交于 B,C两不同点,其中 B,C两点的纵坐标分别满足y B<0,yC>0,若$\overrightarrow{{B}{O}}=\overrightarrow{C{A}}$,试求直线l的方程.

分析 (1)通过椭圆C1过点(2,0)可知a=2,利用$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$可知c=1,从而b2=a2-c2=3,整理可得椭圆C1方程;通过设N(x0,y0)为椭圆上任意一点,利用两点间距离公式配方整理、结合y0∈[-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$]即得结论;
(2)通过分析,设直线l方程为y=kx(k≠0),分k<0、k<0两种情况讨论即可.

解答 解:(1)依题意,a=2,
又∵$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,∴c=1,
∴b2=a2-c2=3,
∴椭圆C1方程为:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$,
设N(x0,y0)为椭圆上任意一点,则${{x}_{0}}^{2}$=4-$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{3}$,
则|MN|2=${{x}_{0}}^{2}$+$({y}_{0}-6)^{2}$=4-$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{3}$+${{y}_{0}}^{2}$-12y0+36=-$\frac{1}{3}$$({y}_{0}+18)^{2}$+148,其中y0∈[-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$],
∴当y0=-$\sqrt{3}$时,|MN|2有最大值39+12$\sqrt{3}$;
(2)当直线的斜率为0或者不存在时,直线与抛物线仅有一个交点,不合题意,舍去,
故可设直线l方程为:y=kx(k≠0),
①当k<0时,∵yB<0,yC>0,
∴$\overrightarrow{BO}$与$\overrightarrow{CA}$方向相反,不合题意,舍去;
②当k>0时,
联立直线与椭圆方程,消去y整理可知:3x2+4k2x2-12=0,
解得:xB=-2$\sqrt{\frac{3}{3+4{k}^{2}}}$,xC=$\sqrt{\frac{3}{3+4{k}^{2}}}$,
联立直线与抛物线方程,消去y可知:k2x2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x,
解得:xO=0,xA=$\frac{\sqrt{3}}{2{k}^{2}}$,
∵$\overrightarrow{{B}{O}}=\overrightarrow{C{A}}$,
∴由椭圆对称性可知$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{CA}$,
∴B、O、C、A四点共线,且C为线段OA的中点,
∴xC=$\frac{{x}_{O}+{x}_{A}}{2}$,即4$\sqrt{\frac{3}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2{k}^{2}}$,
化简得:64k4-4k2-3=0,
解得:k2=$\frac{1}{4}$或k2=-$\frac{3}{16}$(舍),
又∵k>0,
∴k=$\frac{1}{2}$,
∴直线l方程为:y=$\frac{1}{2}$x.

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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