Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点．
（1）求证：A1C∥平面BDC1；
（2）若AB⊥AC，且AB=AC= AA1 ， 求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：（1）取AB的中点E，连结A1E，CE，DE，

在四边形A1EBD是平行四边形，即A1E∥BD，

同理，四边形CC1DE是平行四边形，即CE∥C1D，

又A1E∩CE=E，∴平面A1CE∥平面BDC1，

∵A1C平面A1CE，∴A1C∥平面BDC1

（2）解：法一：延长BD至F，连结A1F，使得A1F⊥DF，连结C1F，

∵AB⊥AC，∴A1B⊥A1C，

又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∴∠A1FC1是所求二面角的平面角，

设AB=2，又AB=AC= ，∴A1D=1，AA1=3，∴BD= ，

∵△A1DF∽△BDB1，∴ ，∴A1F= ，

∵A1C1=2，∴ ，

∴cos∠A1FC1= = ．∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值为 ．

法二：棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，A1B1⊥A1C1，

∴A1B1，A1C1，AA1两两垂直，

以A1为坐标原点，建立如图所求的空间直角坐标系A1﹣xyz，

设AB=2，则B（3，2，0），D（0，1，0），C1（0，0，2），

∴ =（3，1，0）， =（0，﹣1，2），

设平面BDC1的法向量 =（x，y，z），

则 ，取y=6，得 =（﹣2，6，3），

∵平面AA1DB的一个法向量 =（0，0，1）

∴cos＜ ＞= = ，

由图知二面角A﹣BD﹣C1的平面角为多姿多彩锐角，

∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值为 ．/p>

【解析】（1）取AB的中点E，连结A1E，CE，DE，推导出A1E∥BD，CE∥C1D，从而平面A1CE∥平面BDC1，由此能证明A1C∥平面BDC1．（2）法一：延长BD至F，连结A1F，使得A1F⊥DF，连结C1F，推导出∠A1FC1是所求二面角的平面角，由此能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值．（2）法二：以A1为坐标原点，建立如图所求的空间直角坐标系A1﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值．