Question

已知A、B分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求

sinA+sinB

sinC

的值．

Answer 1

分析：（1）由OM是△PAB的中位线得到PA⊥AB，由

c =1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

 解得a²和b²的值，从而得到椭圆的标准方程，
（2）由椭圆的定义AC+BC=2a，△ABC中，由正弦定理求得

sinA+sinB

sinC

的值．

解答：解：（1）∵点M是线段PB的中点，∴OM是△PAB的中位线，
又OM⊥AB，∴PA⊥AB．
∴

c =1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的标准方程为 

x2

2

+y²=1．
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点，
∴AC+BC=2a=2

2

，AB=2c=2，
在△ABC中，由正弦定理，

BC

sinA

=

AC

sinB

=

AB

sinC

，
∴

sinA+sinB

sinC

=

BC+AC

AB

=

2 2

2

=

2

．

点评：本题考查椭圆的简单性质和椭圆的标准方程的应用，正弦定理的应用，属于中档题．