Question

12、已知函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x）（x∈R），且f（x）在[0，1]上是减函数，有以下四个函数：①y=sinπx②y=cosπx③y=1-（x-2k）²，2k-1＜x≤2k+1，k∈Z④y=1+（x-2k）²，2k-1＜x≤2k+1，k∈Z其中满足f （x）所有条件的函数序号为（　　）

A、①②

B、②③

C、②④

D、①④

Answer 1

分析：先利用f（x+1）=-f（x）求得函数的周期为2；再分别看四个函数，周期为2都成立，只有利用在[0，1]上的单调性来求答案，对于①④可得其在在[0，1]上是增函数即可得结论．

解答：解：由f（x+1）=-f（x）?f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．即函数的周期为2．
对于①，因为y=sinπx在Y轴右边是先增后减，故不成立；
对于②，符合要求；
对于③，首先可得其周期为2，且当k=0时，y=1-x²在[0，1]上是减函数，符合要求；
对于④，当k=0时，y=1+x²在[0，1]上是增函数，不符合要求．
故符合要求的有  ②③．
故选 B．

点评：本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．一般出选择或填空题时，是两条性质综合运用来解题，属于基础题．