Question

13．已知命题p：$\frac{{x}^{2}}{m+2}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示椭圆，命题q：$\frac{{x}^{2}}{m-3}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1表示双曲线，若命题“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是-1＜m＜3，且m≠2．

Answer 1

分析 利用椭圆与双曲线的标准方程及其性质分别化简命题p，q，再利用复合真假的性质即可得出．

解答 解：命题p：$\frac{{x}^{2}}{m+2}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示椭圆，则$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{6-m＞0}\\{m+2≠6-m}\end{array}\right.$，解得-2＜m＜6，且m≠2．
命题q：$\frac{{x}^{2}}{m-3}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1表示双曲线，则（m-3）（m+1）＜0，解得-1＜m＜3．
若命题“p∧q”为真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2＜m＜6，m≠2}\\{-1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得-1＜m＜3，且m≠2．
故答案为：-1＜m＜3，且m≠2．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．