【题目】设函数,其中.
(Ⅰ)当为偶函数时,求函数的极值;
(Ⅱ)若函数在区间上有两个零点,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)极小值,极大值;(Ⅱ)或
【解析】
(Ⅰ)根据偶函数定义列方程,解得.再求导数,根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律,即得极值,(Ⅱ)先分离变量,转化研究函数,,利用导数研究单调性与图象,最后根据图象确定满足条件的的取值范围.
(Ⅰ)由函数是偶函数,得,
即对于任意实数都成立,
所以.
此时,则.
由,解得.
当x变化时,与的变化情况如下表所示:
0 | 0 | ||||
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
所以在,上单调递减,在上单调递增.
所以有极小值,有极大值.
(Ⅱ)由,得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线,有且只有两个公共点”.
对函数求导,得.
由,解得,.
当x变化时,与的变化情况如下表所示:
0 | 0 | ||||
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
所以在,上单调递减,在上单调递增.
又因为,,,,
所以当或时,直线与曲线,有且只有两个公共点.
即当或时,函数在区间上有两个零点.
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【题目】随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相,冬奥会正式进入了北京周期,全社会对冬奥会的热情空前高涨.
(1)为迎接冬奥会,某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及,并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数(单位:人)与时间(单位:年),列表如下:
依据表格给出的数据,是否可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).
(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
附:相关系数公式,参考数据.
(2)某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者,特推出两种促销方案.
方案一:每满600元可减100元;
方案二:金额超过600元可抽奖三次,每次中奖的概率同为 ,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折. v
两位顾客都购买了1050元的产品,并且都选择第二种优惠方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;
②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线过点且与直线垂直,直线与轴交于点,点与点关于轴对称,动点满足.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点的直线与轨迹相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】团体购买公园门票,票价如下表:
购票人数 | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
门票价格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园,若按部门作为团体,选择两个不同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费为1290元;若两个部门合在一起作为一个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费为990元,那么这两个部门的人数之差为( )
A. B. C. D.
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【题目】上海市旅游节刚落下帷幕,在旅游节期间,甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的折扣消费券,数量如表1,已知这些景区原价和折扣价如表2(单位:元).
表1:
数量 | 景区1 | 景区2 | 景区3 |
甲 | 0 | 2 | 2 |
乙 | 3 | 0 | 1 |
丙 | 4 | 1 | 0 |
表2:
门票 | 景区1 | 景区2 | 景区3 |
原价 | 60 | 90 | 120 |
折扣后价 | 40 | 60 | 80 |
(1)按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A和三个景区的门票折扣后价格矩阵B;
(2)利用你所学的矩阵知识,计算三位市民各获得多少元折扣?
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【题目】为培养学生的阅读习惯,某校开展了为期一年的“弘扬传统文化,阅读经典名著”活动. 活动后,为了解阅读情况,学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量(单位:本),统计结果用茎叶图记录如下,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以a表示.
(Ⅰ)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值,求图中a的所有可能取值;
(Ⅱ)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设,现从所有的“阅读达人”里任取2人,求至少有1人来自甲组的概率;
(Ⅲ)记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生,并记新得到的甲组阅读量的方差为,试比较,的大小.(结论不要求证明)
(注:,其中为数据的平均数)
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【题目】已知是椭圆与抛物线的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.
(1)求椭圆及抛物线的方程;
(2)设过且互相垂直的两动直线,与椭圆交于两点,与抛物线交于两点,求四边形面积的最小值
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