Question

6．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若$\overrightarrow{GA}+（a+b）\overrightarrow{GB}+2c\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，且$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$≥m+c恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，\frac{17}{2}]$
• B． $（-∞，\frac{13}{2}]$
• C． $[\frac{13}{2}，+∞）$
• D． $[\frac{17}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由G是△ABC的重心，则$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，代入求得（1-2c）$\overrightarrow{GA}$+（a+b-2c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，即可求得a+b=1，且c=$\frac{1}{2}$，利用基本不等式的性质，$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=1+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$+4≥9，代入即可求得实数m的取值范围．

解答 解：由题意知，G是△ABC的重心，
则$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{GC}$=-（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$），
代入$\overrightarrow{GA}+（a+b）\overrightarrow{GB}+2c\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，得：
（1-2c）$\overrightarrow{GA}$+（a+b-2c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{1-2c=0}\\{a+b-2c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）=1+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$+4≥2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{4a}{b}}$+5=9，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，则a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时，取等号，
$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$≥m+c，则m≤$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$-c=9-$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{2}$，
∴m≤$\frac{17}{2}$，
∴实数m的取值范围（-∞，$\frac{17}{2}$]，
故选A．

点评 本题考查向量的运算，考查三角形的重心的性质，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．