Question

19．对于任意的非零实数m，直线y=2x+m与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{{{y^2}_{\;}}}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$有且只有一个交点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可知，直线y=2x+m与双曲线的其中一条渐近线重合或平行，根据斜率之间的关系，即可求出a，c之间的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知，直线直线y=2x+m与双曲线的其中一条渐近线重合或平行，
那么这条渐近线方程的斜率为2，即$\frac{b}{a}$=2，
则b=2a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线渐近线的性质建立条件关系得到a，c的关系是解决本题的关键．