Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

1

1-e-1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导，令f'（x）＞0，f′（x）＜0，得f（x）的单调区间，进而得当x=0时，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）把f（x）解析式代入不等式，先验证x=0时，不等式显然成立，只需考虑x∈（0，2]的情况，分离参数a，写在左边，设右边的为函数g（x），求导，得出g（x）的单调性，进而得当x=1时，g（x）取得最小值e-1，得实数a的取值范围；
（Ⅲ）由等比数列{e^-（n-1）}的前n项和公式求出前n项和，小于

1

1-e-1

，只需求题干中不等式的左边小于等比数列{e^-（n-1）}的前n项和，转化为项与项的大小关系，两边开n次方根得（*），因（Ⅰ）中f（x）的最小值1，所以e^x-x≥1，即1+x≤e^x，（*）式取正整数时符合1+x＜e^x，故得证．

解答：解：（Ⅰ）解：f（x）的导数f′（x）=e^x-1．令f'（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1（3分）
（Ⅱ）解：因为不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以对于任意x∈[0，2]，
不等式f（x）＞ax恒成立（4分）由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x．
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况（5分）
将（a+1）x＜e^x变形为a＜

ex

x

-1，令g (x)=

ex

x

-1，则g（x）的导数g′ (x)=

(x-1)ex

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调增．
所以，当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
从而实数a的取值范围是（-∞，e-1）（8分）
（Ⅲ）证明：因e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

只需证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1．（10分）
即(

n-i

n

)n＜e-i（i=1，2，…，n-1）．即(1-

i

n

) ＜(e-

i

n

) （i=1，2，…，n-1），（*）
由（Ⅰ）得，对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
当x=-

i

n

时（*）式成立．故原不等式成立（12分）

点评：会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．证明不等式时用到放缩法，此法运用灵活，涉及知识点多，训练逻辑推理，抽象概括能力，综合运用能力．属难题．