Question

当x∈[0，1]时，求函数f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的最小值．

Answer 1

解：该函数的对称轴是x=3a-1，
①当3a-1＜0，即时，f_min（x）=f（0）=3a²；
②当3a-1＞1，即时，f_min（x）=f（1）=3a²-6a+3；
③当0≤3a-1≤1，即时，f_min（x）=f（3a-1）=-6a²+6a-1．
综上所述，函数的最小值是：当时，f_min（x）=f（0）=3a²，当时，f_min（x）=f（1）=3a²-6a+3；当时，f_min（x）=f（3a-1）=-6a²+6a-1．
分析：先求得函数f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的对称轴，为x=3a-1，由于此问题是一个区间定轴动的问题，故分类讨论函数的最小值
点评：本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是根据二次函数的性质对函数在区间[0，1]的最值进行研究得出函数的最小值，二次函数在闭区间上的最值问题分为两类，一类是区间定轴动的问题，如本题，另一类是区间动轴定的问题，两类问题求共性都是要分类讨论求最值，此问题是高考解题的一个热点，很多求最值的问题最后都归结为二次函数的最值，对此类问题求最值的规律要认真总结，熟记于心．