Question

9．过抛物线x²=8y的准线上一点P向该抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$相交于M，N两点．
（1）求证直线AB过定点．
（2）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$），由抛物线y=$\frac{{x}^{2}}{8}$可得y′=$\frac{1}{4}$x，A点处的切线为y=$\frac{1}{4}$x₁（x-x₁）+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$，B点处的切线为y=$\frac{1}{4}$x₂（x-x₂）+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$，从而得到x₁x₂=-16；且可写出AB的直线方程，再令x=0求y即可得到定点．
（2）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+2．代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理及向量的数量积的坐标表示，化简计算即可得到所求范围．

解答 （1）证明：设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$），
又由抛物线y=$\frac{{x}^{2}}{8}$可得y′=$\frac{1}{4}$x，
A点处的切线为y=$\frac{1}{4}$x₁（x-x₁）+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$，
B点处的切线为y=$\frac{1}{4}$x₂（x-x₂）+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$，
联立上面方程，求得
x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$，
故两者交点为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$），
而交点在抛物线x²=8y的准线y=-2，即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$=-2，
故x₁x₂=-16，
故AB的直线方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
当x=0时，8y=（-x₁）（x₁+x₂）+x₁²=-x₁x₂=16，即y=2，
故直线AB恒过定点（0，2），即此抛物线的焦点F．
（2）解：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+2．
代入椭圆y²+2x²=8，
得（2+k²）x²+4kx-4=0．
△=16k²+16（2+k²）＞0恒成立，
设点M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
x₃+x₄=$\frac{-4k}{2+{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{-4}{2+{k}^{2}}$，
y₃y₄=（kx₃+2）（kx₄+2）=k²x₃x₄+2k（x₃+x₄）+4=$\frac{8-8{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₃x₄+y₃y₄=$\frac{-4}{2+{k}^{2}}$+$\frac{8-8{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$=$\frac{20}{2+{k}^{2}}$-8≤2，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围是（-8，2]．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．