Question

 在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为D点．BE是∠ABC的角平分线，并交AC于E点．若BC=6，CA=7，AB=8．
（1）求DE的长；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据BE为角平分线，利用角平分线定理列出比例式，根据CA长求出CE与EA长，设CD为x，在直角三角形ACD与直角三角形ABD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，过E作EF垂直于CD，求出CF与FD的长，进而求出EF的长，即可求出ED的长；
（2）利用余弦定理表示出cos∠ABC，将三角形三边长代入求出cos∠ABC的值，由∠ABC为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵BE为∠ABC的角平分线，
∴CE：EA=BC：BA=6：8，
∵CA=CE+EA=7，
∴CE=3，EA=4，
设CD=x，根据勾股定理得到CA²-x²=AD²=AB²-BD²，即49-x²=64-（6-x）²，
解得：x=

7

4

，
过E作EF⊥CD，可得CF：FD=CE：EA=3：4，CF+FD=CD=

7

4

，
∴CF=

3

4

，FD=1，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：EF=

CE2-CF2

=

9- 9 16

=

135

4

，
在Rt△EFD中，根据勾股定理得：ED=

EF2+FD2

=

151

4

；
（2）∵BC=6，CA=7，AB=8，
∴cos∠ABC=

64+36-49

2×6×8

=

51

96

，
∵∠ABC为三角形的内角，
∴sin∠ABC=

1-( 51 96 )2

=

6615

96

=

3 735

96

，
则S_△ABC=

1

2

BC•AB•sin∠ABC=

3 735

4

．

点评：此题属于解三角形题型，涉及的知识有：勾股定理，角平分线定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．