Question

已知cos²

x

2

-sin²

x

2

-2

3

sin

x

2

cos

x

2

-m=0，若方程在[0，π]上有两个相异实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：先化简求函数解析式，问题等价于y=2cos（x+

π

3

），x∈[0，π]与直线y=m有两个不同的交点，作出图象可得结论．

解答： 解：cos²

x

2

-sin²

x

2

-2

3

sin

x

2

cos

x

2

-m=0，
⇒cosx-

3

sinx-m=0
⇒2cos（x+

π

3

）-m=0
∵x∈[0，π]
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
∵关于x的方程在区间[0，π]内有两个相异实数根，
∴2cos（x+

π

3

）=m在区间[0，π]内有两个相异实数根，
∴y=2cos（x+

π

3

），x∈[0，π]与直线y=m有两个不同的交点，
作出图象可得-2＜m≤-1，
故实数m的取值范围为：（-2，1]．

点评：本题考查三角函数的化简，数形结合是解决问题的关键，属于基本知识的考查．