Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量

OA

+

OB

与

PQ

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x₁+x₂的表达式，根据直线方程可求得y₁+y₂的表达式，进而根据以

OA

+

OB

与

PQ

共线可推知（x₁+x₂）=-3（y₁+y₂），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意．

解答：解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x-6）²+y²=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）
且斜率为k的直线方程为y=kx+2．
代入圆方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0． ①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范围为(-

3

4

，0)．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4． ③
而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ

=(6，-2)．
所以

OA

+

OB

与

PQ

共线等价于（x₁+x₂）=-3（y₁+y₂），
将②③代入上式，解得k=-

3

4

．
由（Ⅰ）知k∈(-

3

4

，0)，故没有符合题意的常数k．

点评：本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．常需要把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理和判别式求得问题的解．