Question

函数f（x）=2cos²x+sin2x-1，给出下列四个命题：
（1）函数在区间[

π

8

，

5π

8

]上是减函数；
（2）直线x=

π

8

是函数图象的一条对称轴；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=

2

sin2x的图象向左平移

π

4

而得到；
（4）若 x∈[0，

π

2

]，则f（x）的值域是[0，

2

]．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
（1）利用正弦函数的单调性可求得其单调递减区间，从而可判断（1）；
（2）易求f（

π

8

）=

2

sin

π

2

=

2

，为其最大值，可判断（2）；
（3）利用三角平移变换可判断（3）；
（4）x∈[0，

π

2

]⇒（2x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，利用正弦函数的单调性可求得sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，从而可判断（4）．

解答： 解：f（x）=2cos²x+sin2x-1=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
对于（1），由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z），
所以，y=f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z），
而[

π

8

，

5π

8

]?[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，故（1）正确；
对于（2），因为f（

π

8

）=

2

sin

π

2

=

2

，为其最大值，故直线x=

π

8

是函数图象的一条对称轴，（2）正确；
对于（3），y=

2

sin2x的图象向左平移

π

4

而得到y=

2

sin2（x+

π

4

）的图象，而不是y=

2

sin（2x+

π

4

）的图象，（3）错误；
对于（4），x∈[0，

π

2

]，（2x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，

2

sin（2x+

π

4

）∈[1，

2

]，即f（x）的值域是[1，

2

]，（4）错误；
故选：B．

点评：本题考查三角函数的恒等变换与正弦函数的图象与性质，突出考查正弦函数的单调性、对称性及闭区间上的值域，属于中档题．