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19.给出定义:若m-$\frac{1}{2}$<x≤m+$\frac{1}{2}$(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=x-{x}的三个判断:
①y=f(x)的定义域是R,值域是(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$];  
②点(k,0)是y=f(x)的图象的对称中心,其中k∈Z;
③函数y=f(x)在($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$]上是增函数.
则上述判断中所有正确的序号是(  )
A.①②B.①③C.②③D.①②③

分析 依据函数定义,得到f(x)=x-{x}∈(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$],再对三个命题逐个验证后,即可得到正确结论.

解答 解:在①中,由题意知,{x}-$\frac{1}{2}$<x≤{x}+$\frac{1}{2}$,
则得到f(x)=x-{x}∈(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$],则命题①为真命题;
在②中,由于k∈Z时,f(k)=k-{k}=k-k=0,
但由于f(x)∈(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$],故函数不是中心对称图形,故命题②为假命题;
在③中,由于{x}-$\frac{1}{2}$<x≤{x}+$\frac{1}{2}$,则得到f(x)=x-{x}为分段函数,
且在(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$],($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$]上为增函数,故命题③为真命题.
故答案为 ①③.
故选:B.

点评 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

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