Question

4、定义在R上的函数y=f（x），对任意x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），判断函数y=f（x）的奇偶性并证明．

Answer 1

分析：赋值求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）构造出f（-x）与f（x）的方程研究其间的关系，得出奇偶性，解答本题时注意做题格式，先判断后证明．

解答：解：f（x）为奇函数
证明：∵定义在R上的函数y=f（x），对任意x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）．解得f（0）=0．
令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．

点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性的判定，以及赋值法的应用，属于基础题．