Question

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且∠AOP=

π

6

，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是(

3

5

，

4

5

)，求cos(α-

π

6

)的值；
（Ⅱ）设函数f(α)=

OP

•

OQ

，求f（α）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值；
（Ⅱ）根据向量的数量积坐标运算和条件代入f(α)=

OP

•

OQ

，利用两角和正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．

解答：解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是(

3

5

，

4

5

)，∴cosα=

3

5

，sinα=

4

5

．（2分）
∴cos(α-

π

6

)=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．（6分）
（Ⅱ）f(α)=

OP

•

OQ

=(cos

π

6

，sin

π

6

)•(cosα，sinα)=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin(α+

π

3

)．（9分）
∵α∈[0，π），则α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

)，
∴-

3

2

＜sin(α+

π

3

)≤1．
故f（α）的值域是(-

3

2

，1]．（12分）

点评：本题是由关三角函数的综合题，考查了三角函数的定义，两角和差的正弦（余弦）公式，正弦函数的性质的应用，三角函数是高考的重点，必须掌握和理解公式以及三角函数的性质，并会应用．