【题目】已知椭圆
，且椭圆C上恰有三点在集合
中.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点O为坐标原点，直线AB与椭圆交于A、B两点，且满足
，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值.如果是，请求出定值：如果不是，请明说理由.
（3）在（2）的条件下，求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）点O到直线AB的距离为定值
（3）
【解析】
（1）利用椭圆的对称性得椭圆必过
和
，结合椭圆过点
，求得
的值，从而得到椭圆的方程；
（2）设
，
，对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时设为
，
由
得
，代入点到直线的距离公式可得答案；
（3）将弦
表示成关于
的函数，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面积公式，求得三角形面积的最大值.
（1）
和关于原点对称，故由题意知，椭圆C必过此两点
，又当椭圆过点时，
，∴
，
此时满足
，符合题意.
所以椭圆.
又当椭圆过点
时，
，∴
，
此时
，不符合题意.
综上：椭圆.
（2）设，，若斜率存在，则设直线，
由
，得
，
，
由知，
，
代入得，
又原点到直线AB的距离
，
且当AB的斜率不存在时，
，可得
，依然成立.
所以点O到直线AB的距离为定值.
（3）由（2）知，
由（2）知，，
；
因为
，当且仅当
，即
时等号成立.
所以
；
易知当AB斜率不存在时，
，所以
，
综上得
的面积的最大值为.
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
南大教辅抢先起跑暑假衔接教程南京大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于
两点，当
时，求
的取值范围.
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【题目】椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线
与椭圆交于点
，
，
的周长为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
.①当
时，求直线的方程；
②证明
是定值，并求出此定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中，点还是形如
的有序实数对，直线还是满足
的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点
、
定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：
，请解决以下问题：
（1）求线段
（
，
）上一点
到原点
的“距离”；
（2）求所有到定点
的“距离”均为2的动点围成的图形的周长；
（3）在“欧式几何学”中有如下三个与“距离”有关的正确结论：
①平面上任意三点A，B，C，
；
②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若
，则
是以
为直角三角形
③平面上存在两个不同的定点A，B，若动点P满足
，则动点P的轨迹是
的垂直平分线
上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由.
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【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60°．
（1）求证：直线AM∥平面PNC；
（2）求二面角D﹣PC﹣N的余弦值．
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【题目】如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位：万元）及其构成比例，则下列判断正确的是（ ）
A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大
B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大
C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点
D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高
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【题目】有两种理财产品
和
，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品：
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
|
|
|
产品：
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
|
|
|
注：
（1）若甲、乙两人分别选择了产品
投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于
，求实数
的取值范围；
（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.
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