Question

已知函数f（x）=

x2-x+1

x-1

(x≥2)，g(x)=ax（a＞1，x≥2）．
①若?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，则实数m的取值范围为

 

；
②若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：①根据分式函数的性质结合基本不等式的性质即可求则实数m的取值范围；
②求出两个函数的最值，根据最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：①f（x）=

x2-x+1

x-1

=

(x-1)2+(x-1)+1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1，
当x≥2时，函数f（x）单调递增，则f（x）≥f（2）=3，
若?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，
则m≥3，
故实数m的取值范围为[3，+∞）；
②g（x）=a^x，若a＞1，则g（x）为增函数，当x≥2时，g（x）≥a²，
若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
则a²x≤3，解得1＜a≤

3

，
故实数a的取值范围为 （1，

3

]，
故答案为：[3，+∞）； （1，

3

]

点评：本题主要考查函数最值的应用，根据函数的单调性之间的关系是解决本题的关键．