Question

（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：
①若a²-b²=1，则a-b＜1；
②若

1

b

-

1

a

=1，则a-b＜1；
③若|

a

-

b

|=1，则|a-b|＜1；
④若|a³-b³|=1，则|a-b|＜1．
其中的真命题有

①④

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：①将a²-b²=1，分解变形为（a+1）（a-1）=b²，即可证明a-1＜b，即a-b＜1；②③可通过举反例的方法证明其错误性；④若a＞b，去掉绝对值，将a³-b³=1分解变形为（a-1）（a²+1+a）=b³，即可证明a-b＜1，同理当a＜b时也可证明b-a＜1，从而命题④正确

解答：解：①若a²-b²=1，则a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确；
②若

1

b

-

1

a

=1，可取a=7，b=

7

8

，则a-b＞1，∴②错误；
③若|

a

-

b

|=1，则可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③错误；
④由|a³-b³|=1，
若a＞b，则a³-b³=1，即a³-1=b³，即（a-1）（a²+1+a）=b³，∵a²+1+a＞b²，∴a-1＜b，即a-b＜1
若a＜b，则b³-a³=1，即b³-1=a³，即（b-1）（b²+1+b）=a³，∵b²+1+b＞a²，∴b-1＜a，即b-a＜1
∴|a-b|＜1∴④正确；
故答案为①④

点评：本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理能力，有一定难度，属中档题