Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d为常数），当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实数根；当k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个相异实根，现给出下列4个命题：
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③关于x的方程f（x）=4与方程f′（x）=0有一个相同的实根
④关于x的方程f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根
其中正确命题的序号有

①③④

．

Answer 1

分析：由已知中f（x）=x³+bx²+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．

解答：解：∵函数f（x）=x³+bx²+xc+d，∴f′（x）=3x²+2bx+c
由题意，当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根，
当k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个相异实根，
故函数即为极大值，又有极小值，
且极大值为4，极小值为0，故①正确，②错误；
f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故③正确；
f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故④正确，
故正确命题的个数是3个
故答案为：①③④．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的导数与函数的极值点问题，根据已知条件，判断出函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象和性质是解答本题的关键．