Question

5．设椭圆M：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=$\sqrt{2}$x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，$\sqrt{2}$）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，
由题意可得椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由2a=4，b²=a²-c²，得a=2，$c=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$，
故椭圆M的方程为$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$；
（2）联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$，得$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，
由$△={（2\sqrt{2}m）^2}-16（{m^2}-4）＞0$，
得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$．且$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}}\end{array}}\right.$，
所以$|{AB}|=\sqrt{1+2}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{3}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，
=$\sqrt{3}•\sqrt{\frac{1}{2}{m^2}-{m^2}+4}=\sqrt{3}•\sqrt{4-\frac{m^2}{2}}$．
又P到直线AB的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{3}}}$，
所以${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}\sqrt{3}•\sqrt{4-\frac{m^2}{2}}•\frac{|m|}{{\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}\sqrt{（4-\frac{m^2}{2}）•{m^2}}$
=$\frac{1}{{2\sqrt{2}}}\sqrt{{m^2}（8-{m^2}）}≤\frac{1}{{2\sqrt{2}}}•\frac{{{m^2}+（8-{m^2}）}}{2}=\sqrt{2}$．
当且仅当$m=±2∈（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$时取等号，
所以${（{S_{△PAB}}）_{max=}}\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．