Question

将直线l₁：nx+y-n=0和直线l₂：x+ny-n=0（n∈N^*，n≥2）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为S_n，则

lim

n→∞

S_n=

 

．

Answer 1

分析：联立两条直线方程求出交点B的坐标，因为两直线分别恒过定点，分别求出围成图形的两条对角线，由两条对角线垂直，利用四边形对角线垂直时面积为对角线乘积的一半表示出s_n，求出极限即可．

解答：解：联立直线l₁和直线l₂

nx+y-n=0 x+ny-n=0

解得：x=y=

n

n+1

，所以得到B（

n

n+1

，

n

n+1

）；
观察可得直线l₁过点A（1，0），直线l₂过点C（0，1），
显然BO⊥AC，根据勾股定理得AC=

2

，BO=

2

•

n

n+1

，
所以两直线与x、y轴围成的封闭图形的面积记S_n=

1

2

×

2

×

n

n+1

2

=

n

n+1

所以

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

1

1+ 1 n

=1．
故答案为：1

点评：此题为一道综合题，要求学生会求两直线的交点坐标，会根据对角线垂直求任意四边形的面积，会进行极限的运算．