Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 若过F的直线交椭圆于A，B两点，且

OA

+

OB

与向量

m

=（4，-

2

）共线（其中O为坐标原点），求

OA

与

OB

的夹角．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由题意可设圆的方程为：x²+y²=b²，由于圆与直线x-y+

2

=0相切，可得圆心到直线的距离d=1=b，又

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，解出即可；
（II）F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1），y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k，利用向量坐标运算、根与系数的关系可得

OA

+

OB

=(

4k2

1+2k2

，

-2k

1+2k2

)，由

OA

+

OB

与向量

m

=（4，-

2

）共线，利用向量共线定理可得

-8k

1+2k2

+

4 2 k2

1+2k2

=0，解得k．由于y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]，计算出

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂即可得出．

解答： 解：（I）由题意可设圆的方程为：x²+y²=b²，
∵圆与直线x-y+

2

=0相切，∴d=

2

2

=1=b，
又

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，解得a²=2，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（II）F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-1) x2+2y2=2

，化为（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1），
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=

-2k

1+2k2

，
∴

OA

+

OB

=(

4k2

1+2k2

，

-2k

1+2k2

)，
∵

OA

+

OB

与向量

m

=（4，-

2

）共线，
∴

-8k

1+2k2

+

4 2 k2

1+2k2

=0，解得k=

2

，k=0舍去．
∴y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=2(

2

5

-

8

5

+1)=-

2

5

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

2

5

-

2

5

=0，
∴

OA

⊥

OB

，
∴

OA

与

OB

的夹角为90°．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．