Question

17．设函数f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{a}{2x}$，g（x）=f（x）+$\sqrt{x}$，若x=1是函数g（x）的极值点
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）＞$\frac{n}{x}$恒成立，求整数n的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简g（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{a}{2x}$+$\sqrt{x}$，从而求导g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}{（x+1）^{2}}$-$\frac{a}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，从而令g′（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$=0即可解得；
（2）化简可得$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$＞$\frac{n}{x}$，从而可得n＜$\frac{xlnx}{x+1}+1$=$\frac{xlnx+x+1}{x+1}$，可判断$\frac{xlnx}{x+1}+1$＞0且$\frac{1ln1}{1+1}$+1=1，从而求得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{a}{2x}$，
∴g（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{a}{2x}$+$\sqrt{x}$，
∴g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}{（x+1）^{2}}$-$\frac{a}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∵x=1是函数g（x）的极值点，
∴g′（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
解得，a=2；
经检验，g（x）在x=1处有极小值；
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$，又∵f（x）＞$\frac{n}{x}$，
∴$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$＞$\frac{n}{x}$，
即n＜$\frac{xlnx}{x+1}+1$=$\frac{xlnx+x+1}{x+1}$，
令m（x）=xlnx+x+1，
则m′（x）=lnx+1+1，
故m（x）在（0，e^-2）上是减函数，在（e^-2，+∞）上是增函数，
故m（x）＞m（e^-2）=1-e^-2＞0，
故$\frac{xlnx}{x+1}+1$＞0恒成立；
又∵$\frac{1•ln1}{1+1}$+1=1，
∴n＜1；
故整数n的最大值为0．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，关键在于判断$\frac{xlnx}{x+1}+1$＞0且$\frac{1ln1}{1+1}$+1=1．