Question

（2012•普陀区一模）已知数列{a_n}是首项为2的等比数列，且满足an+1=pan+2n(n∈N*)．
（1）求常数p的值和数列{a_n}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，试写出数列
{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，试求数列{b_n]的前n项和T_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）由首项和递推关系求出数列的前三项，根据等比数列的定义求出常数p，从而求得等比数列的通项公式．
（2）剩下的为第2，3，5，6，8，9，11，12…项，新数列的奇数项为原来等比数列的第2，5，8，11…项，也成等比数列，公比为2³=8，首项变为原来的第二项，由此求得b_2n-1 ．
同理，求得偶数项b_2n ．从而求得{b_n}的通项公式．
（3）当n=2k，k∈N^*时，T_n =（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k ）根据等比数列前n项和公式求出结果．当n=2k-1，k∈N^*时，T_n =（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2 ），
再根据等比数列前n项和公式求出结果．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是首项为2的等比数列，且满足an+1=pan+2n(n∈N*)，
∴a₁=2，a₂=2p+2，a₃=2p²+2p+4．
再由存在常数p，使数列{a_n}是等比数列，
∴a22=a₁•a₃，解得 p=1．
故公比q=

a2

a1

=2，a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，
剩下的为原数列的第2，3，5，6，8，9，11，12…项，
新数列的奇数项为原来等比数列的第2，5，8，11…项，
且也成等比数列，公比为2³=8，首项变为原来的第二项，即b₁=a₂=4，
所以新数列的奇数项b_2n-1=4•8^n-1=2^3n-1．
同理，偶数项为第3，6，9，12…项，也成等比数列，公比为2³=8，首个偶数项变为原来的第三项，即b₂=a₃=8，即 b_2n=8×8^n-1=2³ⁿ．
即b_n=

23k-1， n=2k-1 23k ， n=2k

，k∈N^*．
（3）在（2）的条件下，当n=2k，k∈N^*时，
数列{b_n]的前n项和T_n =（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k ）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k)

1-8

=

12×(8k-1)

7

=

12×(8 n 2 -1)

7

．
当n=2k-1，k∈N^*时，数列{b_n]的前n项和T_n =（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2 ）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k-1)

1-8

=

5•8 n+1 2 -12

7

．
综上，数列{b_n]的前n项和T_n =

12×(8 n 2 -1) 7  ，  n=2k 5•8 n+1 2 -12 7   ， n=2k-1

．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，由递推关系求通项，等比数列的前n项和公式，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．