Question

已知椭圆（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若求直线MN的方程；
（3）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，可得，
∵，得a=，b=1，
∴椭圆方程是： （3分）
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入，得（t²+3）y²+2ty-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，得y₁=-2y₂．
由y₁+y₂=-y₂=-，y₁y₂= （6分）
得-2=，∴t=-1，t=1（舍去）
直线MN的方程为：x=-y+1即x+y-1=0 （8分）
（3）将y=kx+2代入，得（3k₂+1）x²+12kx+9=0（*）
记P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即（x₃-1）（x₄-1）+y₃y₄=0，
又y₃=kx₃+2，y₄=kx₄+2，得（k²+1）x₃x₄+（2k-1）（x₃+x₄）+5=0 ①
又x₃+x₄=-，x₃x₄=，代入①解得k=- （11分）
此时（*）方程△＞0，∴存在k=-，满足题设条件． （12分）
分析：（1）由点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，可得，利用原点到直线的距离，建立方程，即可求得椭圆的方程；
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入，利用韦达定理及，即可求得直线MN的方程；
（3）将y=kx+2代入，利用韦达定理及PQ为直径的圆过D（1，0），建立方程，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．