Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证AB⊥平面PCB，只需证明直线AB垂直平面PCB内的两条相交直线PC、CD即可；
（2）取AP的中点O，连接CO、DO；说明∠COD为二面角C-PA-B的平面角，然后解三角形求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．

（2）解：取AP的中点O，连接CO、DO．
∵PC=AC=2，∴C0⊥PA，CO=

2

，
∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．
∴∠COD为二面角C-PA-B的平面角．
由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，
又∵AB=BC，AC=2，求得BC=

2

PB=

6

，CD=

2 3

3

∴sin∠COD=

CD

CO

=

6

3

cos∠COD=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．