Question

【题目】已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．
（1）若f（x）的最小值为4，求实数a的值；
（2）若﹣1≤x≤0时，不等式f（x）≤|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=|x﹣2|+|x+a|≥|（x﹣2）﹣（x+a）|=|a+2|，

当且仅当（x﹣2）（x+a）≤0时取等号，

∴f（x）min=|a+2|，

由|a+2|=4，解得：a=2或a=﹣6

（2）解：原命题等价于|x+a|+2﹣x≤3﹣x在[﹣1，0]恒成立，

即|x+a|≤1在[﹣1，0]恒成立，

即﹣1﹣x≤a≤1﹣x在[﹣1，0]恒成立，

即（﹣1﹣x）max≤a≤（1﹣x）min，

故a∈[0，1]

【解析】（1）根据绝对值的意义得到|a+2|=4，求出a的值即可；（2）由|x+a|≤1在[﹣1，0]恒成立得到（﹣1﹣x）max≤a≤（1﹣x）min ， 求出a的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．