Question

18．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，已知b=2，cosA=$\frac{4}{5}$
（1）若△ABC的面积S=3，求a；
（2）若△ABC是直角三角形，求a与c．

Answer 1

分析 （1）根据题意和平方关系求出sinA，由三角形的面积公式求出边c，由余弦定理求出边a的值；
（2）根据△ABC是直角三角形两种情况，由锐角的三角函数求出a与c的值．

解答 解：（1）∵$cosA=\frac{4}{5}$，且0＜A＜π，∴$sinA=\frac{3}{5}$，（1分）
∵△ABC的面积S=3，∴$\frac{1}{2}bcsinA=3$，解得c=5，（2分）
由余弦定理得，$a=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}=\sqrt{4+25-2×2×5×\frac{4}{5}}=\sqrt{13}$； （4分）
（2）∵△ABC是直角三角形，∴分以下两种情况：
若B=90°，则$a=bsinA=\frac{6}{5}$，$c=bcosA=\frac{8}{5}$；（7分）
若C=90°，则$c=\frac{b}{cosA}=\frac{5}{2}$，$a=csinA=\frac{3}{2}$．（10分）

点评 本题考查余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，属于中档题．