Question

请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设．
（1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
    

Answer 1

（1）当时，取得最大值；（2）当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为．

试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
设包装盒的高为，底面边长为
由已知得
（1）∵        2分
∴当时，取得最大值                  3分
（2）根据题意有    5分
∴。
由得，(舍)或。
∴当时；当时          7分
∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为
即包装盒的高与底面边长的比值为                      10分．