Question

【题目】如图，在四棱锥中，底而为菱形，且菱形所在的平面与所在的平面相互垂直，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的最长侧棱的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）在菱形中，，平面，平面，由此可证.

（2）取中点，连结，，由已知易得：是正三角形，，进一步可证平面，由勾股定理可求出侧棱，，，的长度，得到最长的是，或可先判断CF最长，求解出长度即可.

（1）在菱形中，，平面，平面.

∴平面.

（2）方法一：取中点，连结，，

由已知易得：是正三角形，∴.

又∴平面平面且交线为，∴平面，

又平面，∴，

又∵，，

∴平面，

又，平面，∴，，

在菱形中，，，，

，.

在中，.

在中，.

在中，，

∴.

显然在侧棱，，，中最长的是.

∴四棱锥的最长侧棱的长为.

方法二：取中点，连结，，

由已知易得：是正三角形，∴，

又∵平面平面且交线为，∴平面，

又平面，∴，

又∵，，∴平面.

又，平面∴，.

在菱形中，，，∴最长.

在中，.

∴四棱锥的最长侧棱的长为.