【题目】(12分)
已知函数.
(1)当时,判断函数
的单调性;
(2)若函数处取得极大值,求实数a的取值范围.
【答案】(1)在
上单调递减.
(2).
【解析】分析:(1)由时,
,求得
,令
,求得
,利用
求得
的单调性,又由
,得到
,进而得到函数
的单调性;
(2)由,求得
,令
,求得
且
,可分
和
和
三种情况分类讨论,得到函数
在
处取得最大值,进而求得实数
的取值范围.
解析:(1)当时,
,则
,
设,则
,
当时,
,
时,
,
所以函数在区间
内单调递增,在区间
内单调递减,
又,所以当
时,
,即
,
所以函数在区间
内单调递减.
(2)由已知得,则
,
记,则
,且
,
①若,则当
时,
,所以函数
在区间
内单调递增,
且当时,
,即
,
当时,
,即
,
又,所以函数
在
处取得极小值,不满足题意.
②若,则
,当
时,
,
故函数在区间
内单调递增,且当
时,
,即
,
当时,
,即
,又
,
所以函数在
处取得极小值,不满足题意.
③当时,则
,由(1)知函数
在区间
内单调递减,
故函数在区间
内单调递减,不满足题意,
④当时,
,当
,即
,
故函数在区间
内单调递减,且当
时,
,即
,
当时,
,即
,又
,
所以在
处取得极大值,满足题意,
综上,实数的取值范围是
.
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【题目】如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5
C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D.该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
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【题目】判断下列命题的真假.
(1)若直线上有无数个点不在平面
内,则
;
(2)若直线与平面
平行,则
与平面
内的任意一条直线都平行;
(3)若直线与平面
平行,则
与平面
内的任意一条直线都没有公共点;
(4)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线也与这个平面平行.
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【题目】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变,再向右平移
个单位长度,得到函数
的图象,则下列说法正确的是( )
A. 函数的一条对称轴是
B. 函数的一个对称中心是
C. 函数的一条对称轴是
D. 函数的一个对称中心是
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【题目】某企业对现有设备进行了改造,为了了解设备改造后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测其质量指标值,若质量指标值在内,则该产品视为合格品,否则视为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的样本的频数分布表.
(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关:
设备改造前 | 设备改造后 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
(2)根据图1和表1提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;
(3)企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行等级细分,质量指标值落在内的定为一等品,每件售价180元;质量指标值落在
或
内的定为二等品,每件售价150元;其他的合格品定为三等品,每件售价120元.根据频数分布表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为
(单位:元),求
的分布列和数学期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知实数,定义域为
的函数
是偶函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求实数值;
(Ⅱ)判断该函数在
上的单调性并用定义证明;
(Ⅲ)是否存在实数,使得对任意的
,不等式
恒成立.若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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