Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.
(Ⅰ) 当a=-1时，求f（x）的最大值；
(Ⅱ) 若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；
（Ⅲ）  当a=-1 时，试推断方是否有实数解.

Answer 1

解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，
f′(x)′=
当0<x<1时，f′(x)>0；
当x>1时，f′(x)<0.
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
f（x_）max=f（1）=-1
(2) ∵f′(x)′=a+，x∈(0,e］，
① 若a≥-，则f′′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数
∴f（x_）max=f（e）=ae+1≥0.不合题意
② 若，则由f′(x)′>0，
即0<x<
由f(x)<0，即<x≤e.
从而f(x)在上增函数,在为减函数
∴
令-1+ln，则ln=-2
∴，即a=.
∵
∴a=-e²
(3) 由（1）知当a=-1时f（x）_max=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1
又令，
令g′(x)=0，得x=e,
当0<x<e时，g′(x)>0,g(x)  在(0,e)单调递增；
当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)单调递减
∴
∴g(x)<1
∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f（x）|=没有实数解.