Question

方程x³-3x-m=0有且只有两个不同的实根，则实数m=

±2

．

Answer 1

分析：方程x³-3x-m=0有且只有两个不同的实根等价于函数f（x）=x³-3x和y=m有且只有两个不同的交点，由导数工具可画出函数的图象，数形结合可得答案．

解答：解：方程x³-3x-m=0有且只有两个不同的实根等价于
函数f（x）=x³-3x和y=m有且只有两个不同的交点，
而f′（x）=3x²-3，令3x²-3=0可得x=±1，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=3x²-3＞0，函数f（x）=x³-3x单调递增，
当x∈（-1，1）时，f′（x）=3x²-3＜0，函数f（x）=x³-3x单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）=3x²-3＞0，函数f（x）=x³-3x单调递增，
故函数f（x）=x³-3x在x=-1处取到极大值f（-1）=2，在x=1处取到极小值f（1）=-2，
故其图象如图所示：
可知m=±2
故答案为：±2

点评：本题考查三次方程的根的个数问题，转化为函数图象交点个数是解决问题的关键，属中档题．