Question

令．如果对k（k∈N^*），满足f（1）•f（2）•…•f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2012]内所有的“好数”的和S=________．

Answer 1

解：∵f（n）=log_n+1（n+2）=，（n∈N^*），
∴f（1）f（2）f（3）…f（n）=••…==log₂（k+2）．
又∵f（1）•f（2）•…•f（k）为整数，∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴[1，2011]内所有的“好数”的和为 S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=2² +2³+2⁴+…+2ⁿ-2×9=-2×9=2026，
故答案为 2026．
分析：先利用换底公式与叠乘法把f（1）•f（2）•…•f（k）化为log₂（k+2）；然后根据f（1）•f（2）•…•f（k）为整数，可得k=2ⁿ-2；由此求得[1，2011]内所有的“好数”的和 S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）的值．
点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的，属于基础题．