Question

14．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，S₂=2，且2S_n+nS₁=na_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n+2}}$-2，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S₂=2，且2S_n+nS₁=na_n，得a₁=0，a₂=2，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，n＞2，由此利用累乘法能求出a_n=2n-2．
（Ⅱ）由a_n=2n-2，得S_n=n²-n，从而得到b_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n+2}}$-2=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），由此利用裂项法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n是数列{a_n}的前n项和，S₂=2，且2S_n+nS₁=na_n，①
∴2a₁+a₁=a₁，解得a₁=0，∴a₂=2，
2S_n-1+（n-1）S₁=（n-1）a_n-1，n≥2，②
①-②，得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，n≥2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，n＞2，
∴a_n=${a}_{2}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$2×\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n-1}{n-2}$=2n-2，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=2n-2．
（Ⅱ）∵a_n=2n-2，∴S_n=2（1+2+3+…+n）-2n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$-2n=n²-n，
∴b_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n+2}}$-2=$\frac{（n+2）^{2}-（n+2）}{（n+1）^{2}-（n+1）}$+$\frac{（n+1）^{2}-（n+1）}{（n+2）^{2}-（n+2）}$-2
=$\frac{n+2}{n}+\frac{n}{n+2}$-2=$\frac{4}{{n}^{2}+2n}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=2（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）
=2（1+$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=3-$\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．