Question

对于复数z₁=m（m-1）+（m-1）i，z₂=（m+1）+（m²-1）i，（m∈R）
（1）若z₁是纯虚数，求m的值；
（2）若z₂在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
（3）若z₁，z₂都是虚数，且

OZ1

•

OZ2

=0，求|z₁+z₂|．

Answer 1

分析：（1）复数为纯虚数的条件是：实部等于0，且虚部不等于0．
（2） z₂在复平面内对应的点位于第四象限，说明 z₂的实部大于0，且虚部小于0．
（3）z₁，z₂都是虚数，说明z₁，z₂的虚部都不等于0，再利用两个向量的数量积公式求出 m的值，代入复数模的计算公式求值．

解答：解：（1）∵复数z₁=m（m-1）+（m-1）i，z₁是纯虚数，∴m（m-1）=0，且（m-1）≠0，∴m=0．
（2）∵z₂在复平面内对应的点位于第四象限，z₂=（m+1）+（m²-1）i，（m∈R）
∴（m+1）＞0，且（m²-1）＜0，∴-1＜m＜1．
（3）∵z₁，z₂都是虚数，∴（m-1）≠0，且 （m²-1）≠0，即 m≠±1，
∵

OZ1

•

OZ2

=0，∴m（m-1）•（m+1）+（m-1）•（m²-1）=0，
（m-1）（2m²+m-1）=0，∴（2m²+m-1）=0，m=

1

2

，
|z₁+z₂|=|（m²+1）+（m² +m-2）i|=|

5

4

-

5

4

i|=

5 2

4

．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，以及复数的基本概念的应用．