Question

18．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，若$∠{A_1}AB=∠{A_1}AD={60^0}$，且A₁A=3，则A₁C的长为$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，利用向量法能求出A₁C的长．

解答 解：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，
$∠{A_1}AB=∠{A_1}AD={60^0}$，且A₁A=3，
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$²=${\overrightarrow{{A}_{1}A}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$+2$\overrightarrow{{A}_{1}A}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{{A}_{1}A}•\overrightarrow{BC}$
=9+4+4+2×3×2×cos120°+2×3×2×cos60°=17，
∴A₁C的长为$\sqrt{17}$．
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．