精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
11.已知函数f(x)=x2-1,函数g(x)=2tlnx,其中t≤1.
(1)如果函数f(x)与g(x)在x=1处的切线均为l,求切线l的方程及t的值;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有且仅有一个零点,求t的取值范围.

分析 (1)分别求得f(x),g(x)的导数,求得切线的斜率,解方程可得t=1,即可得到切线的斜率和切点坐标,可得切线的方程;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),“曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h(x)有且仅有一个零点”.对h(x)求导,讨论①当t≤0时,②当t=1时,③当0<t<1时,求出单调区间,即可得到零点和所求范围

解答 解:(1)求导,得f′(x)=2x,g′(x)=$\frac{2t}{x}$,(x>0).                  
由题意,得切线l的斜率k=f′(1)=g′(1),
即k=2t=2,解得t=1.
又切点坐标为(1,0),
所以切线l的方程为2x-y-2=0;         
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)=x2-1-2tlnx,x∈(0,+∞).      
“曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点”等价于
“函数y=h(x)有且仅有一个零点”.
求导,得h′(x)=2x-$\frac{2t}{x}$.
①当t≤0时,由x∈(0,+∞),得h'(x)>0,
所以h(x)在(0,+∞)单调递增.
又因为h(1)=0,所以y=h(x)有且仅有一个零点1,符合题意.   
②当t=1时,当x变化时,h'(x)与h(x)的变化情况如下表所示:

x(0,1)1(1,+∞)
h'(x)-0+
h(x)极小值
所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以当x=1时,h(x)min=h(1)=0,
故y=h(x)有且仅有一个零点1,符合题意.                  
③当0<t<1时,令h'(x)=0,解得x=$\sqrt{t}$.
当x变化时,h'(x)与h(x)的变化情况如下表所示:
x     (0,$\sqrt{t}$) $\sqrt{t}$  ($\sqrt{t}$,+∞)
h'(x)-0+
h(x)极小值
所以h(x)在(0,$\sqrt{t}$)上单调递减,在($\sqrt{t}$,+∞)上单调递增,
所以当x=$\sqrt{t}$时,h(x)min=h($\sqrt{t}$).                          
因为h(1)=0,$\sqrt{t}$<1,且h(x)在($\sqrt{t}$,+∞)上单调递增,
所以h($\sqrt{t}$)<h(1)=0.
又因为存在e${\;}^{-\frac{1}{2t}}$∈(0,1),h(e${\;}^{-\frac{1}{2t}}$)=e${\;}^{-\frac{1}{t}}$-1-2tlne${\;}^{-\frac{1}{2t}}$=e${\;}^{-\frac{1}{t}}$>0,
所以存在x0∈(0,1)使得h(x0)=0,
所以函数y=h(x)存在两个零点x0,1,与题意不符.
综上,曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点时,
t的范围是{t|t≤0,或t=1}.

点评 本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查函数的零点问题的解法,注意运用构造法,通过导数求得单调性,同时考查分类讨论的思想方法,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,AA'=$\sqrt{3}$a,则直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正切值为(  )
A.$\frac{{\sqrt{39}}}{39}$B.$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$C.$\frac{{\sqrt{13}}}{39}$D.$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.[普通中学做]如图所示,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q,已知点Q的横坐标为$\frac{4}{5}$.
(1)求$\frac{1+sin2β}{1+si{n}^{2}β}$的值;
(2)若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$,求cosα的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.以(2$\sqrt{3}$,0)为圆心,截直线y=$\sqrt{3}$x得弦长为8的圆的方程是(x-2$\sqrt{3}$)2+y2=25.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数学九章》中提出多项式求值的秦九韶算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,依次输入a为2,2,5,则输出的s=(  )
A.7B.12C.17D.34

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.向量|$\overrightarrow{a}$|=3,|$\overrightarrow{b}$|=2,($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$)⊥($\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$),则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积等于(  )
A.-1B.-$\frac{10}{3}$C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.有根木料长6米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高比为1:2,问怎样利用木料,才能使光线通过窗框面积最大?并求出最大面积.(中间木挡的面积可忽略不计)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.在空间直角坐标系中,点(2,1,4)关于xOy平面对称点的坐标为(  )
A.(-2,-1,4)B.(-2,1,-4)C.(2,1,-4)D.(2,-1,-4)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.一轮船行驶时,单位时间的燃料费u与其速度v的立方成正比,若轮船的速度为每小时20km时,燃料费为每小时40元,其余费用每小时为270元,这部分费用不随速度而变化.
(1)求u是v的函数关系式;
(2)求轮船速度为多少时,轮船航行每千米的费用最少(轮船最高速度为bkm/小时).

查看答案和解析>>

同步练习册答案