Question

下列四个命题中
①若a，b，c∈R，则“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要条件；
②当x∈（0，

π

4

）时，函数y=sinx+

1

sinx

的最小值为2；
③命题“若|x|＞2，则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|＜2，则-2＜x＜2”；
④函数f（x）=lnx+x-

3

2

在区间（1，2）上有且仅有一个零点．
其中正确命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①根据不等式的基本性质，“a＞b”不一定“ac²＞bc²”结论，因为必须有c²＞0这一条件；反过来若“ac²＞bc²”，说明c²＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案；
②利用基本不等式求最小值时，一定要注意等号成立的条件；
③本题考查四种命题中否命题的书写，由定义知，原命题的条件的否定作条件，结论的否定作结论即可得到命题的否命题，由此规则写出否命题即可；
④在同一坐标系中分别画出对数函数y=lnx和函数y=-x+

3

2

的图象，其交点就是原函数的零点，进而验证零点个数即可．

解答：解：①充分不必要条件．当c=0时，a＞b?ac²＞bc²；当ac²＞bc²时，说明c≠0，
有c²＞0，得ac²＞bc²⇒a＞b．故“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要条件正确．
②：y=sinx+

1

sinx

≥2，由于其等号成立的条件是sinx=1，而当x∈（0，

π

4

）时，此式不成立，故②错；
③：由题意命题“若|x|＞2，则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|≤2，则-2＜x＜2”故③不正确；
④根据题意如图：由lnx+x-

3

2

=0得lnx=-x+

3

2

，
在同一坐标系中分别画出对数函数y=lnx和函数y=-x+

3

2

的图象，其交点个数只有一个，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查不等式的性质和充要条件的判断，考查四种命题，考查函数的零点与方程根的关系，考查利用数形结合进行求解，是一道好题，本题是基本概念题．